Старый 28.04.2013, 11:21   #1
Pashkela
 
Аватар для Pashkela
 
Регистрация: 05.07.2010
Сообщений: 1,243
По умолчанию Парадокс Монти Холла

Цитата:
Задача формулируется как описание игры, основанной на американском телешоу «Let’s Make a Deal», и названа в честь ведущего этой передачи. Наиболее распространенная формулировка этой задачи, опубликованная в 1990 году в журнале Parade Magazine, звучит следующим образом:

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трех дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

После публикации немедленно выяснилось, что задача сформулирована некорректно: не все условия оговорены. Например, ведущий может придерживаться стратегии «адский Монти»: предлагать сменить выбор тогда и только тогда, когда игрок первым ходом выбрал автомобиль. Очевидно, что смена первоначального выбора будет вести в такой ситуации к гарантированному проигрышу.


Наиболее популярной является задача с дополнительным условием — участнику игры заранее известны следующие правила:
  • автомобиль равновероятно размещен за любой из 3 дверей;
  • ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой и предложить игроку изменить выбор, но только не дверь, которую выбрал игрок;
  • если у ведущего есть выбор, какую из 2 дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью.

При решении этой задачи обычно рассуждают примерно так: ведущий всегда в итоге убирает одну проигрышную дверь, и тогда вероятности появления автомобиля за двумя не открытыми становятся равны 1/2, вне зависимости от первоначального выбора.

Вся суть в том, что своим первоначальным выбором участник делит двери: выбранная A и две другие - B и C. Вероятность того, что автомобиль находится за выбранной дверью = 1/3, того, что за другими = 2/3.

Для каждой из оставшихся дверей сложившаяся ситуация описывается так:

P(B) = 2/3*1/2 = 1/3

P(C) = 2/3*1/2 = 1/3

Где 1/2 - условная вероятность нахождения автомобиля именно за данной дверью при условии, что автомобиль не за дверью, выбранной игроком.

Ведущий, открывая одну из оставшихся дверей, всегда проигрышную, сообщает тем самым игроку ровно 1 бит информации и меняет условные вероятности для B и C соответственно на "1" и "0".

В результате выражения принимают вид:

P(B) = 2/3*1 = 2/3

P(C) = 2/3*0 =0

Таким образом, участнику следует изменить свой первоначальный выбор - в этом случае вероятность его выигрыша будет равна 2/3.

Одним из простейших объяснений является следующее: если вы меняете дверь после действий ведущего, то вы выигрываете, если изначально выбрали проигрышную дверь (тогда ведущий откроет вторую проигрышную и вам останется поменять свой выбор чтобы победить). А изначально выбрать проигрышную дверь можно 2 способами (вероятность 2/3), т.е. если вы меняете дверь, вы выигрываете с вероятностью 2/3.

Этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации большинством людей, поэтому описанная задача и называется парадоксом Монти Холла, т.е. парадоксом в бытовом смысле.

А интуитивное восприятие таково: открывая дверь с козой, ведущий ставит перед игроком новую задачу, никак не связанную с предыдущим выбором — ведь коза за открытой дверью окажется независимо от того, выбрал игрок перед этим козу или автомобиль. После того, как третья дверь открыта, игроку предстоит сделать выбор заново — и выбрать либо ту же дверь, которую он выбрал раньше, либо другую. То есть, при этом он не меняет свой предыдущий выбор, а делает новый. Математическое же решение рассматривает две последовательные задачи ведущего, как связанные друг с другом.

Однако следует брать во внимание тот фактор из условия, что ведущий откроет дверь с козой именно из двух оставшихся, а не дверь, выбранную игроком. Следовательно, оставшаяся дверь имеет больше шансов на автомобиль, так как она не была выбрана ведущим. Если рассмотреть тот случай, когда ведущий, зная, что за выбранной игроком дверью находится коза, все же откроет эту дверь, этим самым он нарочно уменьшит шансы игрока выбрать правильную дверь, т.к. вероятность правильного выбора будет уже 1/2. Но подобного рода игра будет уже по другим правилам.

Дадим еще одно объяснение. Предположим, что вы играете по описанной выше системе, т.е. из двух оставшихся дверей вы всегда выбираете дверь, отличную от вашего первоначального выбора. В каком случае вы проиграете? Проигрыш наступит тогда, и только тогда, когда с самого начала вы выбрали дверь, за которой находится автомобиль, ибо впоследствии вы неизбежно перемените свое решение в пользу двери с козой, во всех остальных случаях вы выиграете, т.е., если с самого начала ошиблись с выбором двери. Но вероятность с самого начала выбрать дверь с козой 2/3, вот и получается, что для победы нужна ошибка, вероятность которой в два раза больше правильного выбора.
Ну и проверка парадокса наглядно (100 попыток):

Разрушители легенд:парадокс монти холла

Последний раз редактировалось Pashkela; 28.04.2013 в 11:28..
Pashkela вне форума   Ответить с цитированием
Старый 28.04.2013, 13:03   #2
DrakonHaSh
 
Регистрация: 05.07.2010
Сообщений: 244
Репутация: 106
По умолчанию

забавный бытовой парадокс, с пару лет назад наткнулся на него.
объяснил себе так:
* A. вероятность того, что машина за выбранной дверью 1/3.
* B+C. вероятность того, что машина за не выбранной дверью 2/3 [2*1/3].
благодаря добряку ведущему 2 варианта B+C сокращаются до 1 варианта с сохранением суммарной вероятности 2/3 [т.к. автомобиль из B+C по условию убран быть не может]
DrakonHaSh вне форума   Ответить с цитированием
Старый 28.04.2013, 13:21   #3
Pashkela
 
Аватар для Pashkela
 
Регистрация: 05.07.2010
Сообщений: 1,243
По умолчанию

Когда разбирался с задачей, вывел сам себе такое объяснение:

1. Мы знаем, что есть три двери, и что с вероятностью 100% за какой-то из них находится автомобиль
2. Когда мы выбираем какую-то дверь, вероятность того, что за ней находится авто - 33% (округляем)
3. Следовательно в других двух - 66%
4. Т.е. получилось, что мы разделили все двери на две больших части - ту, которую мы выбрали (33%, и то, что осталось (66%)
5. С той частью, что осталась, происходят метаморфозы - нам упрощают задачу, открывая одну дверь, не убирая её из задачи, а просто открывая (она никуда не испаряется). Т.е. в той части, где было 66%, так и осталось 66%, просто дверей в той части (закрытых) стало 1 штука. А вероятность осталась та же (66%) - т.е. авто не перемещается, т.е. не зависит её местонахождение от того, что выбрали мы, или что сделал ведущий. Т.е. происходят метаморфозы с открытостью/закрытостью дверей, а не с местоположением автомобиля. Таким образом, ФГМ случается у тех, кто не понимает, вероятность чего он(а) ищет, а ищем мы вероятность нахождения автомобиля за какой-то из дверей (а исходное их количество дано в задаче, не надо менять условия), и ничего более.

т.е. было:

33%+33%+33%=100% (вероятность нахождения авто за одной из трех дверей)

стало:

33%+66%+0% - откуда? Отсюда:

100% -33%(что выбрали мы)-0%(таковая вероятность того, что в открытой двери есть авто, мы её открыли - там нет авто) = 66%

Т.е. многим выносит мозг то, что ведущий что-то делает, и они пересматривают условие задачи уже на две двери, но их по прежнему три (открыто/закрыто != исчезла), просто ведущий упрощает задачу. Просто закрыть глаза и представить, что ведущий ничего не делает, но закрытых дверей справа стало не две, а одна (закрытых, а не дверей вообще).

Многим помогает пример, когда 100 дверей, так больше врубаются, выбранная нами сразу дверь - 1/100, остальные - 99/100. Если ведущий откроет все остальные из тех, которыем мы не выбрали, и оставит только одну закрытую (т.е. откроет 98 дверей из невыбранных), то у неё будет вероятность прежняя - 99 из 100, т.е. шансы на выигрыш больше в 99 раз, а не в два (66%/33%), как в задаче с тремя дверями.

Т.е. изменение информации о дверях (закрыта или открыта) никоим образом не влияет на стартовую (она же итоговая) вероятность нахождения авто за одной из дверей и количество дверей, ибо математикэ (дверей как было 3 или 100, так и осталось, автомобиль как был только за одной из дверей, так и остался, просто берем и ставим 0% в ту дверь, которую открыли и где нет авто, и от 100% отнимаем то, что осталось - наши 33% или 1% (если 100 дверей) = оставшаяся вероятность)

PS: Тут как в покере - у вас при ваших картах есть определенная, точная посчитанная вероятность выигрыша (к примеру 20%), исходя из всех возможных раскладов, есть такие программы, которые считают это. Ваше последующее поведение, при розыгрыше этой карты (с вероятностью выигрыша в 20%), может зависеть от того, что говорит/делает противник, но вероятность выигрыша от этого не меняется даже на 1%, и даже на 0,000001%, с точки зрения математики, а если вы думаете, что меняется, то это эмоциональное восприятие, на чем, собственно, покер и стоит - блеф. Тоже самое и с тв-шоу - вы же не верите (эмоциональная составляющая) ведущему, буду стоять на своём.

PPSS: Таким образом, вероятность наступления того или иного события считается сразу, а не в процессе Простейший пример с монеткой - если 10 раз подряд выпал орел, то это никоим образом не значит, что в 11 раз выпадет решка, т.к. давным-давно известно, что вероятность в данном случае = 1/2, и не зависит от того, что происходит в процессе. Переложите это на двери и авто - сразу поймете. Открытие/закрытие дверей - то самое "в процессе", не влияет на вероятность.

Последний раз редактировалось Pashkela; 28.04.2013 в 15:35..
Pashkela вне форума   Ответить с цитированием
Старый 28.04.2013, 14:37   #4
Pashkela
 
Аватар для Pashkela
 
Регистрация: 05.07.2010
Сообщений: 1,243
По умолчанию

лол, в сети даже есть скрипт на PHP, для испытания в 100 случаях:

PHP код:
<? 

$n 
100// число опытов 

$win_select 0// число выигрышей если менять выбор 
 
$win_nonselect 0// число выигрышей если НЕ менять выбор 

mt_srand(time()+(double)microtime()*1000000); // инициализируем датчик случайных чисел 

for ($i=1$i<=$n$i++) // Повторяем в цикле опыт n раз 
 

 
$prize mt_rand(1,3); // Номер двери за которой машина - случайное число от 1 до 3 
 
$first_select mt_rand(1,3); // Выбираем дверь. Тоже случайно 

// *** место для строчки 

if ($prize == $first_select// если мы угадали с первого раза 
 

 
$open_door mt_rand(1,2); // случайно выбираем одну из двух не выбранных дверей 
 // т.к. оставшихся дверей две, а номера дверей могут быть от 1 до 3, то случайное число сгенерируем 
 // 1 или 2, а если оно совпадет с дверью, за которой приз - то тогда выберем дверь номер 3 
 
if (($open_door == 1) and ($open_door==$prize)) {$open_door=3;} 
 if ((
$open_door == 2) and ($open_door==$prize)) {$open_door=3;} 
 } 
 if (
$prize != $first_select// если мы НЕ угадали с первого раза 
 

 for (
$j=1$j<=3$j++) // ведущий выбирает для открытия дверь 
 

 
$open_door $j
 if ( (
$open_door != $prize) and ($open_door != $first_select) ) {break;} // которая одновременно и не с призом, и не первая выбранная 
 

 } 

for (
$j=1$j<=3$j++) // Если мы меняем выбор 
 

 
$second_select $j// То мы выбираем дверь с условием 
 
if ( ($second_select != $first_select) and ($second_select != $open_door) ) {break;} // что она одновременно и не открытая ведущим и не первая нами выбранная 
 


if (
$second_select==$prize) {$win_select++;} // Если мы угадали сменив выбор 

if ($first_select==$prize) {$win_nonselect++;} // Если мы угадали не меняя выбор 
 // но посмотрите! ведь эту строку, мы можем поместить на место *** с неизменным результатом! 
 // возня с открыванием двери ничего не решает для случая, если мы не меняем решение! 



echo 
"Total wins select: $win_select  
Total wins NONselect: 
$win_nonselect"// выводим результаты 

?>
Цитата:
В этой программе честно моделируется вся ситуация:
1. За выбранную случайным образом дверь прячем машину (дверь номер prize)
2. Случайно выбираем дверь в роли игрока (дверь номер first_select)
3. Ведущий, зная эти два номера, открывает дверь, номер которой не совпадает ни с номером prize ни с номером first_select. Номер этой открытой двери open_door.
4. Если игрок меняет дверь, то номер новой выбранной двери должен быть не равен ни first_select – первому выбору, ни номеру открытой двери open_door. Номер двери, которую выбрал игрок – second_select
5. Если second_select = prize – значит игрок правильно поменял дверь
6. Если first_seslect = prize – значит игрок бы выиграл, если бы дверь не менял

И вот сейчас главная фишка для понимания парадокса:
Условие проверки в пункте 6 мы можем осуществить сразу после пункта 2!!! Ведь в пунктах 3,4,5 с переменными first_select и prize ничего не происходит! То есть действительно получается, что если мы не меняем выбор, то факты открывания двери – совершенно никак не влияют на вероятность. А она, очевидно, при данном подходе будет равна 1/3.

100 000 испытаний:

Цитата:
Total wins select: 66747 Total wins NONselect: 33253

Последний раз редактировалось Pashkela; 28.04.2013 в 14:40..
Pashkela вне форума   Ответить с цитированием
Старый 28.04.2013, 15:08   #5
julpierto
 
Аватар для julpierto
 
Регистрация: 13.09.2011
Сообщений: 18
Репутация: 2
По умолчанию

Есть еще один классный парадокс, называется задача двух конвертов:
Цитата:
Есть два неразличимых конверта с деньгами. В одном находится сумма в два раза большая, чем во втором. Величина этой суммы неизвестна. Конверты дают двум игрокам. Каждый из них может открыть свой конверт и пересчитать в нём деньги. После этого игроки должны решить: стоит ли обменять свой конверт на чужой? Оба игрока рассуждают следующим образом. Я вижу в своём конверте сумму X. В чужом конверте равновероятно может находиться 2X или X/2. Поэтому если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет (2X+X/2)/2=5X/4, то есть больше, чем сейчас. Значит, обмен выгоден. Однако обмен не может быть выгоден обоим игрокам. Где в их рассуждениях кроется ошибка?
julpierto вне форума   Ответить с цитированием
Старый 28.04.2013, 15:10   #6
Pashkela
 
Аватар для Pashkela
 
Регистрация: 05.07.2010
Сообщений: 1,243
По умолчанию

Пиши скрипт на пихипе
Pashkela вне форума   Ответить с цитированием
Старый 28.04.2013, 15:16   #7
julpierto
 
Аватар для julpierto
 
Регистрация: 13.09.2011
Сообщений: 18
Репутация: 2
По умолчанию

Можно и на пахэпэ, только вместо числа выигрышей прибавлять сумму в случае обмена и потом сравнить две суммы - с обменом и без
julpierto вне форума   Ответить с цитированием
Старый 28.04.2013, 15:45   #8
DrakonHaSh
 
Регистрация: 05.07.2010
Сообщений: 244
Репутация: 106
По умолчанию

Цитата:
Сообщение от julpierto Посмотреть сообщение
Есть еще один классный парадокс, называется задача двух конвертов:
Цитата:
В чужом конверте равновероятно может находиться 2X или X/2. Поэтому если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет (2X+X/2)/2=5X/4, то есть больше, чем сейчас.
а с какой стати предполагаемый "гений" складывает суммы, а не вероятности ? тут нет вообще никакого парадокса, а запутывание неискущеного читателя

DrakonHaSh вне форума   Ответить с цитированием
Старый 28.04.2013, 20:54   #9
julpierto
 
Аватар для julpierto
 
Регистрация: 13.09.2011
Сообщений: 18
Репутация: 2
По умолчанию

DrakonHaSh, потому что вероятности 50 на 50. вот тут другая ссылка
Еще есть такое:
В подвале 3 выключателя, каждый из которых включает одну из трех лампочек наверху. Как узнать какой выключатель включает какую лампочку, если наверх можно подняться только 1 раз?

Последний раз редактировалось julpierto; 28.04.2013 в 21:31..
julpierto вне форума   Ответить с цитированием
Старый 29.04.2013, 00:23   #10
rsaReliableS
 
Регистрация: 29.07.2010
Сообщений: 36
Репутация: 7
По умолчанию

Спасибо за загадку про конверт, впервые слышу.

Цитата:
Сообщение от julpierto Посмотреть сообщение
Еще есть такое:
В подвале 3 выключателя, каждый из которых включает одну из трех лампочек наверху. Как узнать какой выключатель включает какую лампочку, если наверх можно подняться только 1 раз?
Так как нет никаких других органичений на действия, то можно поступить так: включаем два выключателя, ждем N минут, выключаем 1 из них, поднимаемся:
* одна горит - её выключатель включен.
* вторая горячая - её выключатель выключили.
* третьей оставшийся выключатель, который мы не трогали.

// не вижу парадоксов(

Последний раз редактировалось rsaReliableS; 01.05.2013 в 00:03..
rsaReliableS вне форума   Ответить с цитированием
Ответ

Опции темы Поиск в этой теме
Поиск в этой теме:

Расширенный поиск
Опции просмотра

Ваши права в разделе
Вы не можете создавать новые темы
Вы не можете отвечать в темах
Вы не можете прикреплять вложения
Вы не можете редактировать свои сообщения

BB коды Вкл.
Смайлы Вкл.
[IMG] код Вкл.
HTML код Выкл.

Быстрый переход



Powered by vBulletin® Version 3.8.5
Copyright ©2000 - 2020, Jelsoft Enterprises Ltd. Перевод: zCarot